Формулы сокращённого умножения многочленов - Формулы и теоремы - Каталог интересных статей

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)²=a²+2ab+b²

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)²=a²-2ab+b²

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a²-b²

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

Формулы для квадратов

$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
$~a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$~(a+b\pm c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab\pm 2ac\pm 2bc$

Формулы для кубов

$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Формулы для четвёртой степени

$(a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4$

Формулы для n-ой степени

$~a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-...-a^2b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , где $n \in N$
$~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-...+a^2b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , где $n \in N$

Некоторые свойства формул

$~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$ , где $n \in N$
$~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$ , где $n \in N$

Интересные формулы

$~a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (выводится из $a 2 - b 2$ )